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饮酒者悖论

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发表于 2022-5-25 00:02:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
饮酒者悖论(也称为饮酒者定理、饮酒者原理或饮酒原理)是经典谓词逻辑的一个定理,可以表述为“酒吧里有人,如果他在喝酒,那么每个人都在酒吧在喝酒。”它由数理逻辑学家 Raymond Smullyan 推广,他在 1978 年的著作《这本书的名字是什么?》中称其为“饮酒原理”。

饮酒者悖论

饮酒者悖论


该陈述明显自相矛盾的性质来自它通常用自然语言陈述的方式。可能有一个人导致其他人喝酒,或者可能有一个人在整个晚上一个人总是最后一个喝酒,这似乎违反直觉。第一个反对意见来自将正式的“如果那么”陈述与因果关系混淆(请参阅相关性并不暗示因果关系或相关逻辑,用于要求前提和结果之间的相关关系的逻辑,与此处假设的经典逻辑不同)。该定理的正式陈述是永恒的,消除了第二个反对意见,因为该陈述在某一时刻适用的人不一定是在任何其他时刻它适用的同一个人。

证明
证明首先要认识到,要么酒吧里的每个人都在喝酒,要么酒吧里至少有一个人不喝酒,这是真的。因此,有两种情况需要考虑:

假设每个人都在喝酒。对于任何特定的人来说,如果那个特定的人在喝酒,那么酒吧里的每个人都在喝酒,这是不会错的——因为每个人都在喝酒。因为每个人都在喝酒,所以那个人必须喝酒,因为当那个人喝酒时,每个人都喝酒,每个人都包括那个人。
否则至少有一个人不喝酒。对于任何不喝酒的人,如果那个人在喝酒,那么酒吧里的每个人都在喝酒的陈述在形式上是正确的:它的前项(“那个人在喝酒”)是错误的,因此由于材料的性质,这个陈述是正确的形式逻辑的含义,即如果 P 为假,则“如果 P,则 Q”始终为真。 (据说这类陈述是空洞的。)
一个稍微正式一点的表达方式是说,如果每个人都喝酒,那么任何人都可以成为定理有效性的见证人。如果有人不喝酒,那么那个特定的不喝酒的人可以证明定理的有效性。

悖论的解释
这个悖论最终是基于形式逻辑的原则,即只要 A 为假,命题 B 就为真,即任何命题都源自假命题。

对悖论重要的是经典(和直觉)逻辑中的条件是物质条件。它的性质是B 只有当 B 为真或 A 为假时才为真(在经典逻辑中,但不是直觉逻辑,这也是充分条件)。

因此,正如这里所应用的那样,“如果他在喝酒,每个人都在喝酒”的陈述在一种情况下被认为是正确的,如果每个人都在喝酒,而在另一种情况下,如果他不喝酒——即使他喝酒可能和别人喝酒没有任何关系。

历史和变化
Smullyan 在他 1978 年的书中将“饮酒原则”的命名归功于他的研究生。他还讨论了变体(通过用其他更戏剧性的谓词替换 D 获得):

“地球上有一个女人,如果她不育,整个人类都会灭绝。” Smullyan 写道,这个提法来自他与哲学家约翰培根的一次谈话。
原则的“双重”版本:“至少有一个人,如果有人喝酒,他就会喝酒。”
作为“Smullyan 的‘饮酒者’原则”或只是“饮酒者原则”,它出现在 H.P. Barendregt 的“The quest for Correctness”(1996 年),附有一些机器证明。从那时起,它就经常作为示例出现在有关自动推理的出版物中;它有时用于对比证明助手的表现力。

非空域
在允许空域的情况下,饮酒者悖论必须表述如下:

一个集合 P 满足当且仅当它是非空的。

参考资料:
Raymond Smullyan (1978). What is the Name of this Book? The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles. Prentice Hall. chapter 14. How to Prove Anything. (topic) 250. The Drinking Principle. pp. 209-211. ISBN 0-13-955088-7.
H.P. Barendregt (1996). "The quest for correctness". Images of SMC Research 1996 (PDF). Stichting Mathematisch Centrum. pp. 54–55. ISBN 978-90-6196-462-9.
Peter J. Cameron (1999). Sets, Logic and Categories. Springer. p. 91. ISBN 978-1-85233-056-9.
Freek Wiedijk. 2001. Mizar Light for HOL Light. In Proceedings of the 14th International Conference on Theorem Proving in Higher Order Logics (TPHOLs '01), Richard J. Boulton and Paul B. Jackson (Eds.). Springer-Verlag, London, UK, 378-394.
Martín Escardó; Paulo Oliva. "Searchable Sets, Dubuc-Penon Compactness, Omniscience Principles, and the Drinker Paradox" (PDF). Computability in Europe 2010: 2.
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